16. Wykładnik Lapunowa dla kwadratu funkcji logarytmicznej

Zaobserwowałem, że funkcja logarytmiczna może zachowywać się chaotycznie. W celu potwierdzenia takiej możliwości obliczyłem wykładniki Lapunowa dla szeregu wartości stałej c w równaniu 1:

Zadanie to realizuje program przedstawiony poniżej:

'wykladnik Lapunowa
'dla rownania logarytmicznego
CLS : SCREEN 12
N = 4000      ' liczba iteracji
OPEN "lapunow3.txt" FOR APPEND AS #1
FOR c = 1.1 TO 3 STEP .01    'wspolcz. w rown. logarytmicznym
  suma = 0
  x = .7
  FOR i = 1 TO N
    suma = suma + LOG(ABS(2 * c * LOG(x) / x))'suma log pochod.
    x = c * LOG(x) ^ 2 'iterowane rown. logarytmiczne
  NEXT i
  Lapunow = suma / N    ' wstpoczynnik Lapunowa
  PRINT #1, c, Lapunow
  'PSET (c * 150, 100 - Lapunow * 100)  'obraz na ekranie
NEXT c
CLOSE #1

Program generuje zbiór wartości, które są przedstawione na poniższym wykresie. Należy dodać, że wykres został skompilowany z dwóch zbiorów dla c (0.1,1.0) oraz (1.1, 3.0). Podzial był związany z błedami zaokrągleń zmiennej c. Zaokrąglenia powodowały, że pojawiły się błędy dla dla wartości c około 1.58.

Wykres pokazuje, że chaotyczne zachowanie kwadratu logarytmu jest możliwe dla c w obszarze od około 0.10 do około 1.84.