54. Stan nieciągły

Dziwne, że stany stacjonarne w MK opisane są ciągłymi funkcjami gęstości elektronowej. Ten stan ciągłości uważam za coś w rodzaju niedorobienia, czy też braku w MK. Również stany kwantowe powinny być… kwantowe. Jak to zrobić. Należy potraktować funkcję gęstości, jako idealizację stanu rzeczywistego. Idealizacja polega na tym, że bierzemy całą przestrzeń oraz każdy czas do opisu stanu stacjonarnego. Gdyby dało się wybrać tylko pewne punkty w pewnym zakresie czasu, to wówczas odtworzenie takiej funkcji wymagałoby skolekcjonowania wszystkich takich punktów i w czasie i w przestrzeni. Bez całkowania taka czynność jest praktycznie niewykonalna.

Jest jeszcze jedna przeszkoda - nie wiadomo, jakie powinno być kryterium wyboru takich punktów. W latach 40 XX w. Metropolis i wsp. zaproponowali takie kryterium. Chodziło o metodę błądzenia przypadkowego do obliczeń energii układów kwantowych z zastosowaniem tzw. energii lokalnej. Problem polegał na tym, że znajdowała się tam sztucznie narzucona metoda wyboru kolejnego punktu ścieżki błądzenia. Tej wady pozbawione są szeregi chaotyczne typu x_n+1 = f(x_n). Wybieramy tylko punkt startowy i śledzimy ewolucję punktów. W wypadku przestrzeni 3D dla układów sferycznie symetrycznych zmienna x odpowiada promieniowi wodzącemu, a kąty może generować generator pseudolosowy. Jakie funkcje chaotyczne trzeba by wziąć. W wypadku  pracy na funkcjach własnych wszystko jedno. Wtedy w każdym punkcie przestrzeni energia elektronu jest jednakowa, zatem nawet nie trzeba liczyć średniej.

Problem wyboru postaci szeregu chaotycznego nabiera istotnego znaczenia w wypadku, gdy mamy do czynienia z funkcjami próbnymi, które nie są funkcjami własnymi hamiltonianu. Wtedy zbiór punktów powinien odtwarzać przybliżoną gęstość elektronową badanego układu. Taki szereg nie powinien mieć ściśle określonej wartości maksymalnej, a jego dystrybucja powinna odpowiadać postacią radialnej gęstości elektronowej.

Z drugiej strony szereg chaotyczny generuje punkt za punktem. Oznacza to, że elektron nie jest obecny wszędzie z jakimś prawdopodobieństwem, ale obecny jest w jednym punkcie przestrzeni w jednym punkcie czasu. Stan stacjonarny składałby się z sumowania właściwości takich punktów. Co ciekawsze, stan stacjonarny byłby sekwencyjnym procesem pojawiania się takich punktów. Taka hipoteza stawia natychmiast pytania, czym jest częstotliwość pojawiania się takich punktów, i czy jest to częstotliwość stała, czy też zmienna w czasie. Na to nie ma jeszcze odpowiedzi. Ważne, że hipoteza taka potwierdza brak toru bo nie ma żadnej ścieżki pomiędzy kolejnymi generowanymi punktami.

Ciekawe implikacje budzi symulacja chaotyczna dla dwóch atomów wodoru. Dwa szeregi chaotyczne, mogą startować z różnych punktów przestrzeni dla zadanej odległości protonów. W b. dużej odległości mamy dwa oddzielne atomy wodoru a oddziaływanie elektronów następuje wyłącznie poprzez efekty kulombowskiego przyciągania i odpychania elektronów i protonów. Dzieje się tak dlatego, że funkcja chaotyczna ma ograniczony zasięg i nie występują tu punkty dalsze niż kilka promieni Bohra. Przy zbliżaniu jąder następuje oddziaływanie bliskie elektronów, które może zakończyć się katastrofą, gdy szeregi wygenerują jednakowe współrzędne. W takim wypadku, konieczna jest korekta położenia elektronów, czyli oddalenie ich na pewna odległość. Ta korekta może odpowiadać korelacji oddziaływania elektronów. Jaka to jest odległość i w którym kierunku należy odsunąć elektrony musi być przedmiotem analizy. W każdym razie skorygowane położenie jest punktem startowym do kolejnej iteracji.

Drugim efektem jest wymiana. Można sobie wyobrazić, że elektron 1 przyporządkujemy jądru 2 i odwrotnie. Wówczas zmieniamy punkty początkowe do kolejnych iteracji. Powstaje pytanie, co ile iteracji należy dokonać takiej zamiany. W ten sposób rozumiem problem korelacji ruchu i wymiany elektronów.  

Obliczenie globalnych parametrów polega na uśrednieniu pewnej liczby wystąpień elektronów. Być może rzędu tysięcy lub milionów. To należy sprawdzić.

            Jakie funkcje chaotyczne mogą być przydatne do takich symulacji. Wydaje się, że tylko dwie. Pierwsza to chaotyczny (w sensie dodatniej wartości wykładnika Lapunowa) kwadrat funkcji logarytmicznej, a druga to chaotyczny tangens. 

50. Właściwości chaotyczne gęstości elektronowej stanu 2s atomu wodoru

Wprowadzenie 
Sam się sobie dziwię, ale kiedyś to napisałem.
    Poprzednio wykazaliśmy, że gęstość elektronowa stanu podstawowego atomu wodoru może być wytworzona poprzez iterację logarytmicznego równania odwrotnego do funkcji gęstości elektronowej tego stanu. Pokazaliśmy, że taka gęstość daje rozmytą chmurę gęstości. Zasadnicza różnica polega na tym, że gęstość "schrödingerowska" rozciąga się od zera do nieskończoności, natomiast gęstość chaotyczna jest ograniczona przestrzennie. Ten wynik powoduje, że gęstość elektronowa jest skupiona w przestrzeni rzędu pojedynczego promienia Bohra.


Chaos gęstości elektronowej stanu 2s atomu wodoru

    W niniejszym szkicu zajmiemy się właściwościami chaotycznymi gęstości elektronowej opartej na nieunormowanej funkcji 2s atomu wodoru (jednostki atomowe). Próbna gęstość elektronowa może być dana elastycznym wzorem (1), przy czym ścisłą wartość gęstości otrzymuje się dla wartości c = 1:

𝛠_2s=(2-cr)²e^-2cr (1)


Wykładniki Lapunowa równania (1) wyliczone dla wartości c  od 0.1 do 5 z krokiem 0.01 są pokazane na rysunku (1):

Rys. Zależność wartości wykładników Ljapunowa od wartości zmiennej wariacyjnej c

    W zakresie tym wszystkie wykładniki mają wartości ujemne. Wartość maksymalna lambda wynosi -0.017 dla c = 0.21. Wartość minimalna wynosi około -18.22 dla c = 0.5. Wynik ten oznacza, że w badanym zakresie gęstość elektronowa stanu 2s zachowuje się w sposób atraktorowy i nie odtwarza krzywej gęstości tego stanu. Co więcej, dla tej wartości  wykładnika Ljapunowa ciąg chaotyczny wartości promienia szybko zmierza do atraktorów o wartości 4 oraz 0, jeśli się wystartuje z pewnego, dość dowolnie wybranego promienia startowego. Należy zwrócić uwagę na fakt, że wartość 4 odpowiada ściśle promieniowi drugiej orbity Bohra.  Jest to wynik dość zaskakujący i musi prowadzić do wniosku, że na gruncie teorii chaosu elektron zachowuje się niezwykle regularnie. Można przyjąć, że gęstość elektronowa tworzy sferę o promieniu 4a₀ ze względu na fakt, że w stanach typu s gęstość ta jest kulisto-symetryczna. Sfera ta nie jest rozmyta, co pozostaje w zasadniczej sprzeczności z zasadą nieoznaczoności Heisenberga i postulatem Borna. Mimo tego wynik ten jest zadziwiający. Można go chyba zinterpretować w ten sposób, że próba wybicia elektronu z jego stanu powoduje szybki doń powrót przez szereg wartości promienia, które są również skwantowane. Nie jest jasne, dlaczego nie dzieje się to w tak dobitny sposób dla wartości c = 1, ale to wymaga zastanowienia. Dla tej wartości mamy również dwie wartości atraktora (0.001363852, 3.983669543). Są to wartości bliskie oczekiwanym (0, 4), ale tylko bliskie.

48. Theoretical investigation of the chaotic electron density in the hydrogen atom

Personal preface:

The work included below I tried to publish in three important journals of the area of theoretical and computational chemistry. My attempts were completely unsuccessful (detailed information on the request). Censors of these journals rejected this work at the first stage of publication process. They gave different reasons. The first answer and the second one were typical: theoretical and computational chemists are not interested in this theme. Okay – disregard. The third one was more important: A study of the hydrogen atom, which is an exactly solvable problem, is not sufficient for the aims and objectives of [here was a journal name].
And then: In the event you develop a paper that goes further and that reports results on more than the hydrogen atom, it may be that such a paper would be suitable for consideration.
These opinions cited above are very important. It seemed to me that hydrogen atom is the obligatory object for new research attempts in the area of physics. It means that theoretical chemistry have to examine this atom initially. What do mean that "hydrogen atom is exactly solvable problem"? It means, we have Schrödinger equation to calculate hydrogen atom properties. My work is about something else. Please, try to understand this. Actually, I found the new description of the density function for hydrogen atom ground state only. It turned out that it is not enough. But the central point of my work is elsewhere. I showed a completely new ability to describe quantum processes in the hydrogen atom. Maybe the work listed below is written in fatal English, maybe arguments are weak but these reasons could not stopped publication. A this moment, I feel exempted from publication this work in an official journal. 

Wojciech Szczepankiewicz

(Employment data were removed because the work is unofficial)

E-mail: Wojciech.Szczepankiewicz@polsl.pl

Abstract: In this paper is presented a new theoretical method for determination of a hydrogen atom electron density at the ground state. A set of chaotic points created by the iteration of a logarithmic function was used to generate an electron density function characterized by the discrete property and limited spatial reach.

Keywords: Hydrogen atom, electron density, Lyapunov exponent, deterministic chaos, logarithmic function, return map


1. Introduction

Deterministic chaos is mainly used in the research of nonlinear dynamical processes for description of classical chaotic processes in the category of quantum mechanics [1-3], Brown motions in a solution [4], dynamics of time dependent hamiltonians [5] or chaotic processes in molecular vibrations [6,7]. These processes were also examined at the excited atoms in external magnetic fields [8]. According to our knowledge, the procedures for generation of deterministic chaos has not been used in the context of the creation of electron density in an atom.

Because the procedures for generation of deterministic chaos return limited number of points in the limited space, remind results of experimental measurements of electron density. For instance, structure determination of chemical compounds by the X-Ray spectroscopy [9] or the discrete electron diffraction picture created at a double slit Young experiment [10-12]. These results can be theoretically generalized in the term of continuous exponential type functions vanishing at infinity by using the wave theory, Schrödinger equation (wave functions) or Density Functional Theories. In other words, continuous and unlimited (with the exception of nodal planes) wave or density functions are mathematical canvas for describing of limited and discrete experimental results. In this work we will show that logarithmic function, associated with the expotential function by the inverse procedure, can simulate electron density of a hydrogen atom ground state. This simulation returns discrete and spatially limited density results. The central point of the following discussion is the chaotic behaviour of iterated logarithmic function characterized by positive values of the Lyapunov exponents [13]. These functions can be plotted on the so called return maps [14].

2. Determination of chaotic electron density

The non-normalized density function of the hydrogen atom ground state is given by the equation (in atomic units)



where ρ – electron density, r – electron radius vector, c – variational constant.

The Lyapunov exponents λ [13], calculated for r (at c <0.001, 4.0>), are less than zero. This means that the iterated equation

(where r_n+1 corresponds to the r_n value on the return map) shows one or more attractors and does not add any significant information concerning the density function. From another side, the logarithmic function given by Eq. (1) is an inverse function of r.

One can construct chaotic functions by the iterative processes starting from an initial r variable value. Unfortunately, the values of the right side of Eq. (1) are negative for ρ > 1. Thus, it is impossible to calculate r values for these ρ ones. However, the introduction of the module to the right side of Eq. (1) resolves this problem. The new Eq. (2) is infinitely iterable and can be used for an identification of the chaotic processes.

Lyapunov exponents λ for Eq. (2), expressed in Fig. 1, are positive for the interval c<0.19,1.35>. It means additionally that Eq. 2 shows the chaotic behavior in the special case for the non-normalized density function (c = 1) and for the normalized one ( c = 1/π).

Figure 1. Lyapunov exponents for logarithmic Eq. 2. Values λ > 0 indicate the chaotic domain of the function.


The return map of Eq. 2 (c = 1) plotted for the 30000 iteration steps (number of choice), shows the discrete set points concentrated near the origin (Fig. 2).

Figure 2. Return map of the logarithmic Eq. 2. Value r_n correspond to a ρ density.

The first step for the electron density function to be recovered, needs the transposition of the axes shown in Fig. 2. We call the new curve expressed in Fig. 3, a pseudo density function ρ’’, because the values ρ’’ > 1 are situated on the positive side of the r axis (Fig. 3). Those values have no physical significance and have to be removed. It is a computational cost that arises because of the application of a module to the iteration procedure of the logarithmic Eq. 2. For example, 5655 points (about 19.8%) are lost for 30000 iteration steps (see supplementary content).

Fig. 3. Return map of the so called pseudo density function ρ’’. Values greater than 1 are nonphysical.

Removing values greater than one from Fig. 3 can characterize the non-normalized density function of the hydrogen atom ground state in atomic units i.e.

  (Fig. 4.)

Fig. 4. The chaotic electron density function of the hydrogen atom ground state.

Since the function on Fig. 4 was created by a chaotic process, we suggest to call it a Chaotic Electron DEnsity function (CEDE for short). This function is a discrete one, its set point being limited by a number of iterations. The domain range r is limited by the r_min > 0 and r_max < INF. Both r_min and r_max depend on the number of the iteration steps. These values change abruptly at the different number of iterations and these changes present an opposite direction i.e. an increase of the number of iterations results in an increase of the r_max value and a decrease of the r_min. The r_min stabilizes over 1.8×10⁷ iterations at the value of 1.38×10^-08 and r_max over 2.1×10⁸ at the value of 9.72 respectively. These values did not change up to 1×10⁹ iterations. However, it is possible that a greater number of iterations will expand these values. (Calculation details and procedures are available from the author upon request)

3. Summary

CEDE of the ground state of the hydrogen atom is discrete and is limited by the minimum and maximum radius vector of the electron. This fact implies a diffuse but a finite size of the atom. For billion iterations maximum radius CEDE exceeds the Bohr radius of the hydrogen atom 9.72 times (see supplementary content). This means that CEDE can interact with the electron densities of adjacent atoms with a non-zero probability.

Assuming that the iteration that creates CEDE is an image of a physical process, the question should be put about the number of iterations since the creation of the atom until a point on the time. The answer to this question is not yet known, but it suggests that the stationary point of an atom is rather a process that occurs with a certain, unknown frequency.

If the stationary state of an atom is treated as a chaotic process of creation of electron density, it is consistent with the Heisenberg uncertainty principle. Chaotic "appearing and disappearing" of the electron around the nucleus at certain points, preventing the definition of the physical path of the electron in three-dimensional space.

Due to the fact that the electron density of the ground state of the hydrogen atom has a spherical symmetry, the values of the angles in a spherical coordinate system can be selected randomly.

The disadvantage of this description is the fact that it is dependent on the scale, which means that, only for a certain range of electron density equation coefficients this equation does behave chaotically. In the example discussed above, this value domain is well expressed by the scale of atomic units.

4. Reference

1. F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, Ed. 2, Springer, New York, 2001.

2. M.C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics in Interdisciplinary Applied mathematics, vol. 1, Springer, Berlin, 1990.

3. E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

4. V. Villani, Complexity of polypeptide dynamics: chaos, Brownian motion and elasticity in aqueous solution, J. Mol. Struct.: THEOCHEM, 621 (2003) 127-13.]

5. S. Tiwari, R. Ramaswamy, Nosé-Hoover dynamics of a nonintegrable hamiltonian system,
J. Mol. Struct.: THEOCHEM, 361 (1996) 111-116.

6. G. Wu, Nonlinearity and Chaos in Molecular Vibrations, Elsevier, Amsterdam, 2005.

7. P. Wang, G. Wu, Periodic motions due to nonlinearity: the regular vibrational dynamics of chaotic DCN, J. Mol. Struct.: THEOCHEM, 724 (2005) 203-208.

8. P.K. Chattaraj, B. Maiti, Chemical reactivity dynamics and quantum chaos in highly excited hydrogen atoms in an external field: a quantum potential approach, Int. J. Mol. Sci., 3 (2002) 338-359.

9. J. P. Glusker, M. Lewis, M. Rossi, Crystal Structure Analysis for Chemists and Biologists, Wiley-VCH, New York, 1994, p. 131.

10. C. Jönsson, Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellen Feinsplaten, Z. Phys. 161 (1961) 454-474.

11. C. Jönsson, Electron Diffraction at Multiple Slits, Am. J. Phys. 42 (1974) 4-11.

12. A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa, Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern, Am. J. Phys. 57 ( 1989) 117-120.

13. S. Lynch, Dynamical Systems with Applications Using MATLAB®, Birkhäuser, Boston, 2004, p. 54.

14. Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos. Annual Meeting of the Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences Berkeley, 1996, http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html (Accessed Apr 18 2013).

47. Chaos w funkcji tangens

Nota autorska

Trudno wchodzić specjalistom w dziedzinę, która nie jest moją profesją naukową. Zdecydowałem zatem, że tu, na moim blogu, opublikuję wyniki dotyczące chaotycznego zachowania się funkcji tangens. All rights reserved.

Zbadano zachowanie chaotyczne funkcji tangens zadanej wzorem iteracyjnym (1)

dla szeregu wartości a oraz pojedynczej wartości b = 1. W tym celu obliczono wykładnini Ljapunowa. Program, który zrealizował to zadanie został napisany w języku VBA for EXCEL:

'Procedura oblicza wykładniki Ljapunowa dla funkcji tangens

Sub Lyapunov()

  N = 10000        'liczba iteracji

  j = 1

  b = 1

  For a = -10 To 10 Step 0.1

    suma = 0

    x = 0.7

    For i = 1 To N

      suma = suma + Log(Abs(a * b * tan(b * x) ^ 2) + 1) 'suma log pochod.

      x = a * tan(b * x)                            'iterowane rown. tangensa

    Next i

    Ljapunow = suma / N    ' wykladnik Lapunowa

    Cells(j, 1) = a

    Cells(j, 2) = Ljapunow

    j = j + 1

  Next a

End Sub

Program zwraca tabelę wielkości, których wykres przedstawiony jest poniżej:

   Dla wartości wykładników Ljapunowa leżących w zakresie lambda <-1 i lambda > 1. Funkcja tangens powinna zachowywać się chaotycznie.

  Zachowanie to przedstawiono za pomocą mapy powrotnej, na której każdy obliczony x_n gra rolę odciętej, a x_n+1 rzędnej:

Sub tangens()

 a = 1.1

 b = 1

 x = 0.7

 For i = 1 To 50000

   y = a * tan(b * x)

   Cells(i, 1) = x

   Cells(i, 2) = y

   x = y

 Next i

End Sub

    Odtwarzany jest dyskretnie przebieg funkcji tangens dla wielu okresów i we wszystkich ćwiartkach układu współrzędnych. Punkty skupione są w pobliżu początku układu. 

    Interesujące jest zbadanie dystrybucji zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Innymi słowy pokazana zostanie liczebność wystąpienia zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Obliczenia takie muszą być dokonane na dyskretnym przedziale:

Sub dystrybucja_tangens()

a = 1.1

 b = 1.05

 x = 0.7

 numer = 0

 Range("D1:D1501").ClearContents

 For i = 1 To 1501

   Cells(i, 3) = numer

   numer = numer + 0.01

 Next i

 For i = 1 To 100000

   y = a * tan(b * x)

   If y >= 0 And y <= 15 Then

     numer = Abs(y * 100) + 1

     Cells(numer, 4) = Cells(numer, 4) + 1

   End If

   x = y

 Next i

End Sub

Wynikiem działania programu jest tabela, którą przedstawiono poniżej w postaci graficznej. Na wykresie dystrybucji dodatkowo przedstawiono przebieg funkcji e^-2*x:

    Jak widać dystrybucja funkcji tangens, dla zadanych parametrów i zakresu x od 0 do 15 w dąży do zera sposób regularny. Powstaje pytanie, jaka funkcja najlepiej aproksymuje funkcję chaotycznej dystrybucji tangensa. Być może jest to odpowiednio dopasowana funkcja Gaussa, a może inna.  Wydaje się, że tego typu aproksymacja może mieć znaczenie dla teorii funkcjonałów gęstości, zwłaszcza jeśli zauważymy, że poszerzenie zakresu zbierania danych dystrybucji na wartości ujemne daje stożek, który przypomina stożki gęstości elektronowej, wykorzystywane w analizie Badera do określania punktów charakterystycznych gęstości elektronowej względem wybranej płaszczyzny w związku chemicznym. Poniżej nieznormalizowana dystrybucja w zakresie x od -15 do 15:

Dodatek 18.10.2013. dodaję jeszcze jeden wykres dystrybucji dla funkcji tangens. Uderzające w nim jest to, że bardzo dokładnie przypomina kształtem linię spektralną lampy wodorowej:

45. Logarytm chaotyczny. Sortowanie

    Poprzednio pokazałem, że szereg logarytmiczny dany wzorem 1 zachowuje się chaotycznie dla szeregu wartości zmiennej c :

    Wartości x wypełniają obszar pomiędzy x_min oraz x_max w sposób przypadkowy. Interesowało mnie uporządkowanie tych wartości od największej do najmniejszej. W tym celu do algorytmu generującego szereg chaotyczny dołożyłem prosty algorytm porządkujący (sortujący). Poniżej przedstawiam tekst odpowiedniego programu, który napisałem w języku QBASIC:

'Sortowanie x dla kwadratu funkcji logarytmicznej
'LOG2.BAS
CLS:
x = .7

llos = 10000  'liczba iteracji
DIM wektor(llos)

c = 1.2       'dla c=1.2 min=1.15E-9, max=507.92
OPEN "dywek.txt" FOR APPEND AS #1

FOR i = 1 TO llos
  x = c * LOG(x) ^ 2  'funkcja logarytmiczna
  wektor(i) = x
NEXT i

'sortowanie
FOR j = 1 TO llos - 1
    FOR i = 1 TO llos - 1
      IF wektor(i) > wektor(i + 1) THEN
       tymcz = wektor(i)
       wektor(i) = wektor(i + 1)
       wektor(i + 1) = tymcz
      END IF
    NEXT
NEXT

'zapisywanie danych do pliku tekstowego
FOR i = 1 TO llos
 PRINT #1, wektor(i)
NEXT i
CLOSE #1

    Program generuje plik dywek.txt, w którym zapisane są wartości szeregu od największej do najmniejszej. Wartość największa ma numer 1, a najmniejsza 10000. Rezultat przedstawiłem na poniższym wykresie:

    Otrzymałem wykres funkcji malejącej. Własności tej funkcji nie są dla mnie jasne, ale być może mają jakiś związek z gęstością elektronową. 

42. Wartości minimalne i maksymalne zmiennej chaotycznej dla kwadratu funcji logarytmicznej w zależności od stałej c

    Ciekawiło mnie, jak zmieniają się wartości minimalne i maksymalne zmiennej chaotycznej x dla szeregu danego wzorem 1.

w zakresie chaotycznym dla stałej c od 0.1 do 1.84. W tym celu napisałem program realizujący to zagadnienie:

'xmin i x max dla obszaru chaotycznego f. log^2

CLS : SCREEN 12

x = .7

testmax = 0

testmin = 100000

OPEN "minmax.txt" FOR APPEND AS #1

FOR c = .1 TO 1.84 STEP .01

 llos = 10000  'liczba iteracji

     'dla c=1.2 min=1.15E-9, max=507.92

 FOR i = 1 TO llos

  x = c * LOG(x) ^ 2  'funkcja logarytmiczna

  IF x >= testmax THEN testmax = x

  IF x <= testmin THEN testmin = x

 NEXT i

 PRINT #1, c, testmin, testmax

NEXT c

    Wyniki przedstawiam w postaci dwóch wykresów ze względu na różnicę wielu rzędów wielkości dla wartości maksymalnej i minimalnej. Pierwszy posiada skalę liniową i pokazuje skokową zmianę wartości maksymalnej przy przechodzeniu od jednej wartości zmiennej c do innej. 

    Drugi wykres ze skalą logarytmiczną eksponuje podobne zmiany dla wartości minimalnej. Kolor niebieski oznacza wartości zmiennej c. Liczby na osi odciętych pokazują numer zmiennej c a nie jej wartość (ot Excel).

    Zmiany te również są skokowe, ale niekoniecznie w tych  samych miejscach, co skoki wartości maksymalnej.

34. Wykładniki Lapunowa dla kwadratu funkcji logarytmicznej II

    Poprzednio pokazałem, że kwadrat funkcji logarytmicznej posiada wykładniki Lapunowa większe od zera w pewnym przedziale zmiennej c przy czym c było mnożone przez logarytm. Obecnie pokażę, zachowanie się wykładników Lapunowa w wypadku, gdy zmienna c jest mnożona przez zmienną niezależną:

 Odpowiedni program napisany w QBASICU wpisuje do pliku "lapunow5.dat" zbiór wartości wykładników Lapunowa w przedziale zmiennej c(0.10, 4.00):

'wykladnik Lapunowa dla log(c*x)^2
CLS: SCREEN 12
N = 4000      ' liczba iteracji
OPEN "lapunow5.dat" FOR APPEND AS #1
FOR c = .1 TO 4 STEP .01     'wspolcz. w rown. logarytmicznym
  suma = 0
  x = .7
  FOR i = 1 TO N
    suma = suma + LOG(ABS(2 * LOG(c * x) / x))'suma log pochod.
    x = LOG(c * x) ^ 2 'iterowane rown. logarytmiczne
  NEXT i
  Lapunow = suma / N    ' wykladnik Lapunowa
   PRINT #1, c, Lapunow
  'PSET (c * 150, 100 - Lapunow * 100)  'obraz na ekranie
NEXT c
CLOSE #1


Wynik działania programu przedstawiłem poniżej na wykresie zależności wykładników Lapunowa od wartości zmiennej c:

W zakresie c(0.1, 1.85) wykładniki Lapunowa mają wartość dodatnią, co sugeruje, że w tym zakresie funkcja logarytmiczna posiada rozwiązania chaotyczne.

31. Przygoda z chaosem

    

Moja przygoda z chaosem rozpoczęła się chyba podobnie, jak analiza zachowania się populacji zwierzaczków, robiona w 1975 roku przez Mitchella Feigenbauma, od zabawy z kalkulatorem. Dawno temu, może w czwartej klasie szkoły średniej, dostałem od Rodziców taką maszynkę. Ówcześnie to był czad! Miałem w rękach czarny, zgrabnie zaprojektowany i wykonany Texas Instruments z czerwonym wyświetlaczem. Byłem zdumiony, gdy zauważyłem, że na klawiaturze brakuje klawisza ze znakiem "równa się". Wtedy zetknąłem się po raz pierwszy z Odwrotną Notacją Polską. Dowiedziałem się o niej za pomocą amerykańskiej technologii, a nie przy pomocy polskich nauczycieli. Dziwna jakaś była ta edukacja w naszym Kraju.

    W ramach zabawy z nowym urządzeniem robiłem próby z iteracyjnym obliczaniem rozmaitych funkcji, ale bez żadnego mądrego podtekstu, chyba w ramach odpoczynku pomiędzy kolejnymi zadaniami z technologii chemicznej. Wprowadzałem pomyślaną liczbę i naciskałem klawisz jakiejś funkcji (sinusa, pierwiastka, itp.) tyle razy aż wynik się ustalił, albo wyświetlił się znak błędu. Jednak zachowanie się jednej z tych funkcji było odmienne od pozostałych.

    Gdy logarytmowałem jakiś ułamek, otrzymywałem wynik, który był oczywiście liczbą ujemną. Wydawało się, że to koniec zabawy, gdyż próba logarytmowania liczy ujemnej na kalkulatorze daje sygnał błędu. Zrobiłem jednak jeden krok dalej. Po prostu usunąłem znak minus sprzed wyniku i logarytmowanie wykonałem ponownie. Powtarzałem tę zabawę, ale okazało się, że nie umiałem zakończyć tak powtarzanej operacji. Ciągle pojawiały się jakieś liczby, mniejsze, albo większe od jedności. Operację mogłem powtarzać godzinami i nie udawało mi się dojść do jakiejś granicy... 

    Wszystko się jednak nudzi po jakimś czasie. Zapomniałem o tej zabawie na rok lub dwa. W tym czasie pojawiły się komputery ZX81 a potem Spectrum.

    Na studiach chemicznych nauczyłem się konstruować schematy blokowe procedur obliczeniowych i tworzyć odpowiednie programy komputerowe z wykorzystaniem języka BASIC. Lubię ten język... Wtedy przypomniałem sobie o niesfornym logarytmie. Schemat iteracji zapisałem następująco:

x_n+1 = abs(log(x_n))

    Za x₁ wybierałem liczbę większą od zera i "puszczałem" nieskończoną pętlę. Na ekranie monitora pojawiały się ciągi jakichś liczb, które nie chciały dążyć do żadnej konkretnej liczby. Program komputerowy zapisany w QBASICu* wyglądał tak:

'Program 00

x = .2 'na przykład 0.2 oczywiście

10 x = ABS(LOG(x))

PRINT x

GOTO 10

    Liczby migały na ekranie i, tak naprawdę, niewiele widziałem. Zmodyfikowałem nieco program, aby pokazywał generowane liczby w postaci punktów na osi x:

'Program 01 

SCREEN 12

x = .2

10 x = ABS(LOG(x))

PSET (x * 70, 100)

GOTO 10

    Powoli (na tamtych komputerach to było powoli) wyłaniała się kropkowana prosta, która miała dużo punktów przy początku osi. Punkty stawały się coraz rzadsze w miarę wzrostu wartości x. Po pewnym czasie obraz ustalał się:

Rysunek kreseczki, która pojawiła się po wykonaniu programu 01

    Tu przyszła mi do głowy pewna, całkiem kartezjańska myśl. Każdy punkt x_n+1 może być potraktowany jako punkt na osi prostopadłej do osi punktu x_n. To oznacza tyle, że wolno mi przyjąć, iż y = x_n+1, a każde y może być następnym x_n. Mogę po prostu narysować pojawiające się punkty w dwuwymiarowym układzie współrzędnych tak, jak rysuje się funkcje. Myśl tę zobrazowałem za pomocą prostego programu:

'Program 02

SCREEN 12

y = .2              'na przykład 0.2 oczywiście

skala = 30

10 x = y

y = ABS(LOG(x))

PSET (x * skala, y * skala)

GOTO 10

    Otrzymałem dwie krzywe, schodzące się w jednym punkcie. Krzywe te podobnie, jak poprzednio były gęsto usiane punktami przy początku układu współrzędnych. Dalej punkty stawały się coraz rzadsze.

Rysunek krzywych, powstałych w wyniku działania programu 02

    Do programu dodałem drobną modyfikację, która usuwa znak minus sprzed zmiennej y podczas wydruku punktu oraz usunąłem brzydką komendę 'goto', zastępując ją elegancką pętlą:

'Program 03

SCREEN 12

LINE (50, 300)-(200, 300), 5

LINE (100, 250)-(100, 350), 5 ' rysuje początkowy fragment układu

y = .2

skala = 10

FOR i = 1 TO 5000

  x = ABS(y)

  y = LOG(x)

  PSET (x * skala + 100, 300 - y * skala)

NEXT i

    Program odtwarza funkcję log(x). Dla ułatwienia interpretacji rysunku dopisałem do programu komendy rysujące fragment osi układu współrzędnych:

Rysunek funkcji z programu 03

    Odtworzyłem w jakiś sposób funkcję logarytmiczną, ale nie całą, jedynie jej część dość bliską początkowi układu współrzędnych. Kolejne się iteracje nie wpływały już na rysunek. Układ osiągnął coś w rodzaju stanu stacjonarnego. Punkty są gęsto usiane w pobliżu początku układu współrzędnych, dalej są rozmieszczone coraz rzadziej.

    Zrobiłem jeszcze jedną modyfikację. Dodałem zmienną c, przez którą mnożyłem x w każdej pętli FOR...NEXT:

'Program 04

SCREEN 12

  y = .2

  skala = 30

FOR c = .01 TO 1 STEP .01

  FOR i = 1 TO 1000

    x = ABS(y)

    y = LOG(c * x)

    PSET (x * skala + 100, 200 - y * skala)

  NEXT i

NEXT c

    Okazało się, że zmienna c wpływa na postać wykresu. Gdy c jest w pobliżu 0,01 ukazuje się tylko kilka rozrzuconych punktów. Potem punkty te skupiają się, a od wartości c około 0,35 skromny układ punktów rozwija się w znane już nam krzywe logarytmiczne. Zastanawiałem się, czy nie mam tu przypadkiem problemu z dokładnością obliczeń, i że niektóre punkty być może są wynikiem kumulacji błędów. Podejrzewałem jednak, że w ogólności otrzymany obraz, chyba pokazuje jakąœ prawidłowość, ale jaką?

Rodzina krzywych otrzymanych z programu 04 przy różnych wartościach zmiennej c.

    Nieco później dowiedziałem się o teorii chaosu. Klasyczny sposób popularnego wprowadzenia do tego zagadnienia, polega na pokazaniu pojawiania się chaosu w funkcji logistycznej:

x_n+1 = cx_n(1-x_n)

    W zależności od (ustalonej wartości) zmiennej c, iteracja prowadzi albo do pojedynczego rozwiązania, zwanego atraktorem, albo rozwiązanie rozdwaja się w punkcje zwanym bifurkacją (rysowane są dwa punkty), albo wreszcie rozwiązania stają się chaotyczne i trudno przewidzieć, jaka wartość będzie wynikiem następnej iteracji. Poniższy program pozwala na zaobserwowanie opisanych zależności:

'Program 05

'Atraktory, bifurkacje i chaos w r. logistycznym

DIM x(30)

SCREEN 12

k = 1000

FOR c = .9 TO 4 STEP .01

  x = .1

  FOR n = 1 TO k

    x = c * x * (1 - x)                   'równanie logistyczne

    IF n >= (k - 30) THEN x(k - n) = x

  NEXT n

  FOR i = 1 TO 30

    PSET (100 * c, 400 - x(i) * 300)

  NEXT i

NEXT c

Atraktory, bifurkacje i chaos dla funkcji logistycznej

    Poniżej przedstawiam znacznie późniejszą wersję tego programu (z roku 2004), która pokazuje o wiele więcej punktów chaosu (ale czy to jest zaleta, nie wiem) i jest prostsza od poprzedniej.

'Program 06

'atraktory, bifurkacje i chaos funkcji logistycznej

SCREEN 12

FOR c = .9 TO 4 STEP .01

  x = .2

  min = 60                            'liczba iteracji początkowych

  FOR i = 1 TO 1000

    x = c * x * (1 - x)              'równanie logistyczne

    IF i > min THEN PSET (c * 100, 400 - x * 300)

  NEXT i

NEXT c

    W tym miejscu zdałem sobie sprawę, że mogę przedstawić równanie logistyczne w prostokątnym układzie współrzędnych opartym o osie x oraz x_n+1. Kiedyś już to robiłem dla logarytmu. Ciekawiło mnie, jaka krzywa powstanie. Program, którym to policzyłem, różnił się niewiele od przedstawionego powyżej.

'Program 07

'atraktory, bifurkacje i chaos

SCREEN 12

FOR c = .9 TO 4 STEP .01

  y = .2

  min = 100                       'liczba iteracji początkowych

  FOR i = 1 TO 2000

    x = y

    y = c * x * (1 - x)           'r. logistyczne

    IF i > min THEN PSET (x * 200 + 100, 350 - y * 300)

  NEXT i

NEXT c

    Wynik działania tego programu przedstawiłem poniżej. Pojawiają się nowe informacje o zachowaniu się atraktorów i rozwiązań chaotycznych.

    Linia ukośna wewnątrz łuku paraboli pokazuje sytuację, w której rozwiązaniem jest atraktor przy wzrastających wartościach c. Potem pojawia się rozgałęzienie na dwa ramiona, co odpowiada pierwszej bifurkacji. Ramiona są kawałkiem jakiejś krzywej, co jest wyraźnie widoczne. Kolejne rozgałęzienie jest mniejsze. Następne rozgałęzienia stają się jeszcze mniejsze aż układ "rozwija się" nagle w parabolę! Kolejne wartości c zmieniają wysokość tej paraboli.

    Za pomocą następnego programu można prześledzić powstawanie jednej z takich parabol przy ustalonej wartości c, oraz po różnej liczbie iteracji, większej od minimalnej liczby iteracji, która zapewnia zbieżność do lokalnego atraktora.

'Program 08

'atraktory, bifurkacje i chaos

SCREEN 12

c = 4

  y = .2

min = 100                              'liczba iteracji początkowych

FOR i = 1 TO 120                       ' potem 200, 400 oraz 2000

  x = y

  y = c * x * (1 - x)                        'r. logistyczne

  IF i > min THEN PSET (x * 200 + 100, 350 - y * 300)

NEXT i

Rysunki paraboli po 120, 200 i 4000 iteracjach

    Nasuwają się ciekawe wnioski. Rozwiązania chaotyczne niosą najwięcej informacji o przestrzeni, w której rozgrywa się dramat iteracji równania nieliniowego. Oczywiście dzieje się to pod warunkiem, że przeprowadzimy dużą liczbę iteracji. Widzimy wyraźnie, że odtwarza się parabola (albo wcześniej funkcja logarytmiczna). Rozwiązania chaotyczne odtwarzają tylko część krzywej matematycznej w pobliżu początku układu współrzędnych. Dokładniej, część leżącą w zakresie nieujemnych wartości funkcji logistycznej. Chaos jest jednak informatywny w odróżnieniu od rozwiązań zawierających atraktory. Zdaje się również, że ustala się pewien rozkład punktów w odtwarzanej przestrzeni, co oznacza, że w ramach przedstawionego algorytmu chaos nie jest idealny (prawdopodobnie rozmieszczenie punktów nie jest równomierne). Powyżej pewnej liczby iteracji następne iteracje nie zmieniają rysunku, co może oznaczać, że został osiągnięty pewien "stan stacjonarny". To ostatnie spostrzeżenie jest intrygujące. Załóżmy, że istnieje pewien proces fizyczny, opisany jakąś funkcją, której przebieg można odtworzyć za pomocą iteracji chaotycznej. Wolno się spodziewać, że taki układ fizyczny osiągnie wspomniany stan stacjonarny. Dodatkowo, jeśli nawet dziedzina funkcji rozciągnięta jest na całą przestrzeń, to rozwiązania chaotyczne są lokalne i skupione w pobliżu początku układu współrzędnych. 

  Taka lokalność jest dla mnie szczególnie intrygująca i prowadzi do pytania, czy procesy dotychczas opisywane funkcjami, których dziedzina jest nieskończona, muszą koniecznie "włączać" ową nieskończoność do tego opisu?  Mogę zapytać inaczej, czy procesy kwantowe opisane ciągłymi funkcjami falowymi mogą posiadać chaotyczne rozwiązania, które znacznie lepiej odpowiadają idei kwantów niż owa ciągłość. Być może nie jest konieczne angażowanie całej przestrzeni do obliczenia właściwości układów kwantowych? Być może włączenie chaosu do takich rozważań zamieni niepokojącą nielokalność w lokalność, która jest bliższa naszemu ograniczonemu pojmowaniu świata. Ciekawi mnie to.  

* Współcześnie można uruchomić te paragramy przez emulację środowiska DOSu. Potrzebne informacje są na stronie QBASIC