54. Stan nieciągły

Dziwne, że stany stacjonarne w MK opisane są ciągłymi funkcjami gęstości elektronowej. Ten stan ciągłości uważam za coś w rodzaju niedorobienia, czy też braku w MK. Również stany kwantowe powinny być… kwantowe. Jak to zrobić. Należy potraktować funkcję gęstości, jako idealizację stanu rzeczywistego. Idealizacja polega na tym, że bierzemy całą przestrzeń oraz każdy czas do opisu stanu stacjonarnego. Gdyby dało się wybrać tylko pewne punkty w pewnym zakresie czasu, to wówczas odtworzenie takiej funkcji wymagałoby skolekcjonowania wszystkich takich punktów i w czasie i w przestrzeni. Bez całkowania taka czynność jest praktycznie niewykonalna.

Jest jeszcze jedna przeszkoda - nie wiadomo, jakie powinno być kryterium wyboru takich punktów. W latach 40 XX w. Metropolis i wsp. zaproponowali takie kryterium. Chodziło o metodę błądzenia przypadkowego do obliczeń energii układów kwantowych z zastosowaniem tzw. energii lokalnej. Problem polegał na tym, że znajdowała się tam sztucznie narzucona metoda wyboru kolejnego punktu ścieżki błądzenia. Tej wady pozbawione są szeregi chaotyczne typu x_n+1 = f(x_n). Wybieramy tylko punkt startowy i śledzimy ewolucję punktów. W wypadku przestrzeni 3D dla układów sferycznie symetrycznych zmienna x odpowiada promieniowi wodzącemu, a kąty może generować generator pseudolosowy. Jakie funkcje chaotyczne trzeba by wziąć. W wypadku  pracy na funkcjach własnych wszystko jedno. Wtedy w każdym punkcie przestrzeni energia elektronu jest jednakowa, zatem nawet nie trzeba liczyć średniej.

Problem wyboru postaci szeregu chaotycznego nabiera istotnego znaczenia w wypadku, gdy mamy do czynienia z funkcjami próbnymi, które nie są funkcjami własnymi hamiltonianu. Wtedy zbiór punktów powinien odtwarzać przybliżoną gęstość elektronową badanego układu. Taki szereg nie powinien mieć ściśle określonej wartości maksymalnej, a jego dystrybucja powinna odpowiadać postacią radialnej gęstości elektronowej.

Z drugiej strony szereg chaotyczny generuje punkt za punktem. Oznacza to, że elektron nie jest obecny wszędzie z jakimś prawdopodobieństwem, ale obecny jest w jednym punkcie przestrzeni w jednym punkcie czasu. Stan stacjonarny składałby się z sumowania właściwości takich punktów. Co ciekawsze, stan stacjonarny byłby sekwencyjnym procesem pojawiania się takich punktów. Taka hipoteza stawia natychmiast pytania, czym jest częstotliwość pojawiania się takich punktów, i czy jest to częstotliwość stała, czy też zmienna w czasie. Na to nie ma jeszcze odpowiedzi. Ważne, że hipoteza taka potwierdza brak toru bo nie ma żadnej ścieżki pomiędzy kolejnymi generowanymi punktami.

Ciekawe implikacje budzi symulacja chaotyczna dla dwóch atomów wodoru. Dwa szeregi chaotyczne, mogą startować z różnych punktów przestrzeni dla zadanej odległości protonów. W b. dużej odległości mamy dwa oddzielne atomy wodoru a oddziaływanie elektronów następuje wyłącznie poprzez efekty kulombowskiego przyciągania i odpychania elektronów i protonów. Dzieje się tak dlatego, że funkcja chaotyczna ma ograniczony zasięg i nie występują tu punkty dalsze niż kilka promieni Bohra. Przy zbliżaniu jąder następuje oddziaływanie bliskie elektronów, które może zakończyć się katastrofą, gdy szeregi wygenerują jednakowe współrzędne. W takim wypadku, konieczna jest korekta położenia elektronów, czyli oddalenie ich na pewna odległość. Ta korekta może odpowiadać korelacji oddziaływania elektronów. Jaka to jest odległość i w którym kierunku należy odsunąć elektrony musi być przedmiotem analizy. W każdym razie skorygowane położenie jest punktem startowym do kolejnej iteracji.

Drugim efektem jest wymiana. Można sobie wyobrazić, że elektron 1 przyporządkujemy jądru 2 i odwrotnie. Wówczas zmieniamy punkty początkowe do kolejnych iteracji. Powstaje pytanie, co ile iteracji należy dokonać takiej zamiany. W ten sposób rozumiem problem korelacji ruchu i wymiany elektronów.  

Obliczenie globalnych parametrów polega na uśrednieniu pewnej liczby wystąpień elektronów. Być może rzędu tysięcy lub milionów. To należy sprawdzić.

            Jakie funkcje chaotyczne mogą być przydatne do takich symulacji. Wydaje się, że tylko dwie. Pierwsza to chaotyczny (w sensie dodatniej wartości wykładnika Lapunowa) kwadrat funkcji logarytmicznej, a druga to chaotyczny tangens. 

47. Chaos w funkcji tangens

Nota autorska

Trudno wchodzić specjalistom w dziedzinę, która nie jest moją profesją naukową. Zdecydowałem zatem, że tu, na moim blogu, opublikuję wyniki dotyczące chaotycznego zachowania się funkcji tangens. All rights reserved.

Zbadano zachowanie chaotyczne funkcji tangens zadanej wzorem iteracyjnym (1)

dla szeregu wartości a oraz pojedynczej wartości b = 1. W tym celu obliczono wykładnini Ljapunowa. Program, który zrealizował to zadanie został napisany w języku VBA for EXCEL:

'Procedura oblicza wykładniki Ljapunowa dla funkcji tangens

Sub Lyapunov()

  N = 10000        'liczba iteracji

  j = 1

  b = 1

  For a = -10 To 10 Step 0.1

    suma = 0

    x = 0.7

    For i = 1 To N

      suma = suma + Log(Abs(a * b * tan(b * x) ^ 2) + 1) 'suma log pochod.

      x = a * tan(b * x)                            'iterowane rown. tangensa

    Next i

    Ljapunow = suma / N    ' wykladnik Lapunowa

    Cells(j, 1) = a

    Cells(j, 2) = Ljapunow

    j = j + 1

  Next a

End Sub

Program zwraca tabelę wielkości, których wykres przedstawiony jest poniżej:

   Dla wartości wykładników Ljapunowa leżących w zakresie lambda <-1 i lambda > 1. Funkcja tangens powinna zachowywać się chaotycznie.

  Zachowanie to przedstawiono za pomocą mapy powrotnej, na której każdy obliczony x_n gra rolę odciętej, a x_n+1 rzędnej:

Sub tangens()

 a = 1.1

 b = 1

 x = 0.7

 For i = 1 To 50000

   y = a * tan(b * x)

   Cells(i, 1) = x

   Cells(i, 2) = y

   x = y

 Next i

End Sub

    Odtwarzany jest dyskretnie przebieg funkcji tangens dla wielu okresów i we wszystkich ćwiartkach układu współrzędnych. Punkty skupione są w pobliżu początku układu. 

    Interesujące jest zbadanie dystrybucji zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Innymi słowy pokazana zostanie liczebność wystąpienia zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Obliczenia takie muszą być dokonane na dyskretnym przedziale:

Sub dystrybucja_tangens()

a = 1.1

 b = 1.05

 x = 0.7

 numer = 0

 Range("D1:D1501").ClearContents

 For i = 1 To 1501

   Cells(i, 3) = numer

   numer = numer + 0.01

 Next i

 For i = 1 To 100000

   y = a * tan(b * x)

   If y >= 0 And y <= 15 Then

     numer = Abs(y * 100) + 1

     Cells(numer, 4) = Cells(numer, 4) + 1

   End If

   x = y

 Next i

End Sub

Wynikiem działania programu jest tabela, którą przedstawiono poniżej w postaci graficznej. Na wykresie dystrybucji dodatkowo przedstawiono przebieg funkcji e^-2*x:

    Jak widać dystrybucja funkcji tangens, dla zadanych parametrów i zakresu x od 0 do 15 w dąży do zera sposób regularny. Powstaje pytanie, jaka funkcja najlepiej aproksymuje funkcję chaotycznej dystrybucji tangensa. Być może jest to odpowiednio dopasowana funkcja Gaussa, a może inna.  Wydaje się, że tego typu aproksymacja może mieć znaczenie dla teorii funkcjonałów gęstości, zwłaszcza jeśli zauważymy, że poszerzenie zakresu zbierania danych dystrybucji na wartości ujemne daje stożek, który przypomina stożki gęstości elektronowej, wykorzystywane w analizie Badera do określania punktów charakterystycznych gęstości elektronowej względem wybranej płaszczyzny w związku chemicznym. Poniżej nieznormalizowana dystrybucja w zakresie x od -15 do 15:

Dodatek 18.10.2013. dodaję jeszcze jeden wykres dystrybucji dla funkcji tangens. Uderzające w nim jest to, że bardzo dokładnie przypomina kształtem linię spektralną lampy wodorowej:

34. Wykładniki Lapunowa dla kwadratu funkcji logarytmicznej II

    Poprzednio pokazałem, że kwadrat funkcji logarytmicznej posiada wykładniki Lapunowa większe od zera w pewnym przedziale zmiennej c przy czym c było mnożone przez logarytm. Obecnie pokażę, zachowanie się wykładników Lapunowa w wypadku, gdy zmienna c jest mnożona przez zmienną niezależną:

 Odpowiedni program napisany w QBASICU wpisuje do pliku "lapunow5.dat" zbiór wartości wykładników Lapunowa w przedziale zmiennej c(0.10, 4.00):

'wykladnik Lapunowa dla log(c*x)^2
CLS: SCREEN 12
N = 4000      ' liczba iteracji
OPEN "lapunow5.dat" FOR APPEND AS #1
FOR c = .1 TO 4 STEP .01     'wspolcz. w rown. logarytmicznym
  suma = 0
  x = .7
  FOR i = 1 TO N
    suma = suma + LOG(ABS(2 * LOG(c * x) / x))'suma log pochod.
    x = LOG(c * x) ^ 2 'iterowane rown. logarytmiczne
  NEXT i
  Lapunow = suma / N    ' wykladnik Lapunowa
   PRINT #1, c, Lapunow
  'PSET (c * 150, 100 - Lapunow * 100)  'obraz na ekranie
NEXT c
CLOSE #1


Wynik działania programu przedstawiłem poniżej na wykresie zależności wykładników Lapunowa od wartości zmiennej c:

W zakresie c(0.1, 1.85) wykładniki Lapunowa mają wartość dodatnią, co sugeruje, że w tym zakresie funkcja logarytmiczna posiada rozwiązania chaotyczne.