25. Dystrybucja zmiennej dla chaotycznych rozwiązań modułu funkcji logarytmicznej

W poprzednim wpisie określiłem obszar rozwiązań chaotycznych modułu funkcji logarytmicznej. W niniejszym wpisie uzupełniam informację o chaotycznym zachowaniu się tej funkcji przez podanie dystrybucji zmiennej x przy określonej wartości zmiennej c, leżącej w pobliżu środka obszaru chaotycznego. W tym celu napisałem program, którego treść przedstawiam poniżej:

'Dystrybucja x dla modulu f. logarytmicznej
CLS : SCREEN 12
vec = 1200    'rozmiar wektora zbierania danych
DIM d(vec)
x = .69
llos = 10000  'liczba iteracji
c = 1.7       'xmin=4E-6 xmax=11.9
OPEN "dystryb.txt" FOR APPEND AS #1
FOR i = 1 TO llos
  x = ABS(LOG(c * x))    'funkcja logarytmiczna
  yd = INT(100 * x)      'wskaznik w wektorze
  d(yd) = d(yd) + 1
NEXT i
FOR i = 1 TO vec
   PRINT #1, i, d(i)      'drukowanie wynikow
   'PSET (i / 4, 400 - 2 * d(i))
NEXT i
CLOSE #1

Program generuje plik danych, które posłużyły do wykonania wykresu (program EXCEL) przedstawionego poniżej:

Minimalna wartość zmiennej wynosi około 4*10^-6 a maksymalna około 11.9. Uzyskana krzywa jest "poszarpana". Wydaje się, że jej wygładzenie jest możliwe poprzez zastosowanie zmiennych w podwójnej precyzji.
     (27.05.2012-22.17) Obliczenia wykonane w podwójnej precyzji nie zmieniły "poszarpania" wykresu.

17. Dystrybucja zmiennej x dla kwadratu funkcji logarytmicznej w obszarze zachowania chaotycznego

W poprzednim poście pokazałem, że kwadrat funkcji logarytmicznej posiada wykładnik Lapunowa o wartościach powyżej zera. Poniżej przedstawiam wynik działania programu, który liczy dystrybucję zmiennej x w obszarze chaotycznym:

'Dystrybucja x dla kwadratu funkcji logarytmicznej
CLS : SCREEN 12
vec = 510    'rozmiar wektora zbierana danych
DIM d(vec)
x = .7
llos = 10000  'liczba iteracji
c = 1.2       'dla c=1.2 min=1.15E-9, max=507.92
OPEN "dystryb.txt" FOR APPEND AS #1
FOR i = 1 TO llos
  x = c * LOG(x) ^ 2  'funkcja logarytmiczna
  yd = INT(x)         'wskaznik w wektorze
  d(yd) = d(yd) + 1
NEXT i

FOR i = 1 TO vec
   PRINT #1, i, d(i)      'drukowanie wynikow
  'PSET (i, 400 - d(i))
NEXT i
CLOSE #1

Wynikiem działania programu jest zbiór danych, które przedstawiłem na poniższym wykresie:

Bez szczegółowej analizy można powiedzieć, że dystrybucja przypomina przebiegiem funkcję 1/x.

15. Dystrybucja zmiennej równania logistycznego dla obszaru chaotycznego

Przedmiotem tego wpisu jest chaotyczne zachowanie się równania logistycznego dla pewnych wartości stałej c danego wzorem 1:

Zadałem sobie pytanie, ile razy wybierana jest konkretna wartość x_i podczas procesu iteracji równania 1. Zagadnienie to rozwiązałem przy użyciu programu, który zlicza pojawiające się wartości zmiennej x a wynik zliczania wpisuje do wektora d. W celu "rozciągnięcia" zakresu zmiennych każda wartość x_i jest mnożona przez 10000. Tekst programu przedstawiłem poniżej:

'dystrybucja zm. x funkcji logistycznej
DIM d(10000)
y = .7
llos = 1000000
c = 3.8
OPEN "dystryb.txt" FOR APPEND AS #1
FOR i = 1 TO llos
  x = y
  y = c * x * (1 - x)
  yd = INT(y * 10000)
  d(yd) = d(yd) + 1
NEXT i

FOR i = 1 TO 10000
  PRINT #1, i, d(i)
NEXT i
CLOSE #1

Wynikiem działania programu jest zbiór danych, ktore zamieszczone są poniżej:

Można zauważyć, że średnio rzecz biorąc, najliczniej prezentowana wartość około 250. Liczności wzrastają na brzegach przedziału. Wspomnę, że zastosowałem pojedynczą precyzję w deklaracjach zmiennych. Zasadniczo powinienem użyć definicji zmiennych w podwójnej precyzji. Ten zabieg powinien spowodować "wygładzenie" poszarpanego wykresu dystrybucji.