Wprowadzenie
Sam się sobie dziwię, ale kiedyś to napisałem.
Poprzednio wykazaliśmy, że gęstość elektronowa stanu podstawowego atomu wodoru może być wytworzona poprzez iterację logarytmicznego równania odwrotnego do funkcji gęstości elektronowej tego stanu. Pokazaliśmy, że taka gęstość daje rozmytą chmurę gęstości. Zasadnicza różnica polega na tym, że gęstość "schrödingerowska" rozciąga się od zera do nieskończoności, natomiast gęstość chaotyczna jest ograniczona przestrzennie. Ten wynik powoduje, że gęstość elektronowa jest skupiona w przestrzeni rzędu pojedynczego promienia Bohra.
Chaos gęstości elektronowej stanu 2s atomu wodoru
W niniejszym szkicu zajmiemy się właściwościami chaotycznymi gęstości elektronowej opartej na nieunormowanej funkcji 2s atomu wodoru (jednostki atomowe). Próbna gęstość elektronowa może być dana elastycznym wzorem (1), przy czym ścisłą wartość gęstości otrzymuje się dla wartości c = 1:
Sam się sobie dziwię, ale kiedyś to napisałem.
Poprzednio wykazaliśmy, że gęstość elektronowa stanu podstawowego atomu wodoru może być wytworzona poprzez iterację logarytmicznego równania odwrotnego do funkcji gęstości elektronowej tego stanu. Pokazaliśmy, że taka gęstość daje rozmytą chmurę gęstości. Zasadnicza różnica polega na tym, że gęstość "schrödingerowska" rozciąga się od zera do nieskończoności, natomiast gęstość chaotyczna jest ograniczona przestrzennie. Ten wynik powoduje, że gęstość elektronowa jest skupiona w przestrzeni rzędu pojedynczego promienia Bohra.
Chaos gęstości elektronowej stanu 2s atomu wodoru
W niniejszym szkicu zajmiemy się właściwościami chaotycznymi gęstości elektronowej opartej na nieunormowanej funkcji 2s atomu wodoru (jednostki atomowe). Próbna gęstość elektronowa może być dana elastycznym wzorem (1), przy czym ścisłą wartość gęstości otrzymuje się dla wartości c = 1:
𝛠2s=(2-cr)2e-2cr (1)
Wykładniki Lapunowa równania (1) wyliczone dla wartości c od 0.1 do 5 z krokiem 0.01 są pokazane na rysunku (1):
W zakresie tym wszystkie wykładniki mają wartości ujemne. Wartość maksymalna lambda wynosi -0.017 dla c = 0.21. Wartość minimalna wynosi około -18.22 dla c = 0.5. Wynik ten oznacza, że w badanym zakresie gęstość elektronowa stanu 2s zachowuje się w sposób atraktorowy i nie odtwarza krzywej gęstości tego stanu. Co więcej, dla tej wartości wykładnika Ljapunowa ciąg chaotyczny wartości promienia szybko zmierza do atraktorów o wartości 4 oraz 0, jeśli się wystartuje z pewnego, dość dowolnie wybranego promienia startowego. Należy zwrócić uwagę na fakt, że wartość 4 odpowiada ściśle promieniowi drugiej orbity Bohra. Jest to wynik dość zaskakujący i musi prowadzić do wniosku, że na gruncie teorii chaosu elektron zachowuje się niezwykle regularnie. Można przyjąć, że gęstość elektronowa tworzy sferę o promieniu 4a0 ze względu na fakt, że w stanach typu s gęstość ta jest kulisto-symetryczna. Sfera ta nie jest rozmyta, co pozostaje w zasadniczej sprzeczności z zasadą nieoznaczoności Heisenberga i postulatem Borna. Mimo tego wynik ten jest zadziwiający. Można go chyba zinterpretować w ten sposób, że próba wybicia elektronu z jego stanu powoduje szybki doń powrót przez szereg wartości promienia, które są również skwantowane. Nie jest jasne, dlaczego nie dzieje się to w tak dobitny sposób dla wartości c = 1, ale to wymaga zastanowienia. Dla tej wartości mamy również dwie wartości atraktora (0.001363852, 3.983669543). Są to wartości bliskie oczekiwanym (0, 4), ale tylko bliskie.
Wykładniki Lapunowa równania (1) wyliczone dla wartości c od 0.1 do 5 z krokiem 0.01 są pokazane na rysunku (1):
|
| Rys. Zależność wartości wykładników Ljapunowa od wartości zmiennej wariacyjnej c |
W zakresie tym wszystkie wykładniki mają wartości ujemne. Wartość maksymalna lambda wynosi -0.017 dla c = 0.21. Wartość minimalna wynosi około -18.22 dla c = 0.5. Wynik ten oznacza, że w badanym zakresie gęstość elektronowa stanu 2s zachowuje się w sposób atraktorowy i nie odtwarza krzywej gęstości tego stanu. Co więcej, dla tej wartości wykładnika Ljapunowa ciąg chaotyczny wartości promienia szybko zmierza do atraktorów o wartości 4 oraz 0, jeśli się wystartuje z pewnego, dość dowolnie wybranego promienia startowego. Należy zwrócić uwagę na fakt, że wartość 4 odpowiada ściśle promieniowi drugiej orbity Bohra. Jest to wynik dość zaskakujący i musi prowadzić do wniosku, że na gruncie teorii chaosu elektron zachowuje się niezwykle regularnie. Można przyjąć, że gęstość elektronowa tworzy sferę o promieniu 4a0 ze względu na fakt, że w stanach typu s gęstość ta jest kulisto-symetryczna. Sfera ta nie jest rozmyta, co pozostaje w zasadniczej sprzeczności z zasadą nieoznaczoności Heisenberga i postulatem Borna. Mimo tego wynik ten jest zadziwiający. Można go chyba zinterpretować w ten sposób, że próba wybicia elektronu z jego stanu powoduje szybki doń powrót przez szereg wartości promienia, które są również skwantowane. Nie jest jasne, dlaczego nie dzieje się to w tak dobitny sposób dla wartości c = 1, ale to wymaga zastanowienia. Dla tej wartości mamy również dwie wartości atraktora (0.001363852, 3.983669543). Są to wartości bliskie oczekiwanym (0, 4), ale tylko bliskie.
