47. Chaos w funkcji tangens

Nota autorska

Trudno wchodzić specjalistom w dziedzinę, która nie jest moją profesją naukową. Zdecydowałem zatem, że tu, na moim blogu, opublikuję wyniki dotyczące chaotycznego zachowania się funkcji tangens. All rights reserved.

Zbadano zachowanie chaotyczne funkcji tangens zadanej wzorem iteracyjnym (1)

dla szeregu wartości a oraz pojedynczej wartości b = 1. W tym celu obliczono wykładnini Ljapunowa. Program, który zrealizował to zadanie został napisany w języku VBA for EXCEL:

'Procedura oblicza wykładniki Ljapunowa dla funkcji tangens

Sub Lyapunov()

  N = 10000        'liczba iteracji

  j = 1

  b = 1

  For a = -10 To 10 Step 0.1

    suma = 0

    x = 0.7

    For i = 1 To N

      suma = suma + Log(Abs(a * b * tan(b * x) ^ 2) + 1) 'suma log pochod.

      x = a * tan(b * x)                            'iterowane rown. tangensa

    Next i

    Ljapunow = suma / N    ' wykladnik Lapunowa

    Cells(j, 1) = a

    Cells(j, 2) = Ljapunow

    j = j + 1

  Next a

End Sub

Program zwraca tabelę wielkości, których wykres przedstawiony jest poniżej:

   Dla wartości wykładników Ljapunowa leżących w zakresie lambda <-1 i lambda > 1. Funkcja tangens powinna zachowywać się chaotycznie.

  Zachowanie to przedstawiono za pomocą mapy powrotnej, na której każdy obliczony x_n gra rolę odciętej, a x_n+1 rzędnej:

Sub tangens()

 a = 1.1

 b = 1

 x = 0.7

 For i = 1 To 50000

   y = a * tan(b * x)

   Cells(i, 1) = x

   Cells(i, 2) = y

   x = y

 Next i

End Sub

    Odtwarzany jest dyskretnie przebieg funkcji tangens dla wielu okresów i we wszystkich ćwiartkach układu współrzędnych. Punkty skupione są w pobliżu początku układu. 

    Interesujące jest zbadanie dystrybucji zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Innymi słowy pokazana zostanie liczebność wystąpienia zmiennej chaotycznej w zależności od wartości tej zmiennej. Obliczenia takie muszą być dokonane na dyskretnym przedziale:

Sub dystrybucja_tangens()

a = 1.1

 b = 1.05

 x = 0.7

 numer = 0

 Range("D1:D1501").ClearContents

 For i = 1 To 1501

   Cells(i, 3) = numer

   numer = numer + 0.01

 Next i

 For i = 1 To 100000

   y = a * tan(b * x)

   If y >= 0 And y <= 15 Then

     numer = Abs(y * 100) + 1

     Cells(numer, 4) = Cells(numer, 4) + 1

   End If

   x = y

 Next i

End Sub

Wynikiem działania programu jest tabela, którą przedstawiono poniżej w postaci graficznej. Na wykresie dystrybucji dodatkowo przedstawiono przebieg funkcji e^-2*x:

    Jak widać dystrybucja funkcji tangens, dla zadanych parametrów i zakresu x od 0 do 15 w dąży do zera sposób regularny. Powstaje pytanie, jaka funkcja najlepiej aproksymuje funkcję chaotycznej dystrybucji tangensa. Być może jest to odpowiednio dopasowana funkcja Gaussa, a może inna.  Wydaje się, że tego typu aproksymacja może mieć znaczenie dla teorii funkcjonałów gęstości, zwłaszcza jeśli zauważymy, że poszerzenie zakresu zbierania danych dystrybucji na wartości ujemne daje stożek, który przypomina stożki gęstości elektronowej, wykorzystywane w analizie Badera do określania punktów charakterystycznych gęstości elektronowej względem wybranej płaszczyzny w związku chemicznym. Poniżej nieznormalizowana dystrybucja w zakresie x od -15 do 15:

Dodatek 18.10.2013. dodaję jeszcze jeden wykres dystrybucji dla funkcji tangens. Uderzające w nim jest to, że bardzo dokładnie przypomina kształtem linię spektralną lampy wodorowej: